Ikosaedri

8.1.2021

Olen lukenut viime aikoina jonkin verran molekyyli­biologi­sista aiheista Wiki­pediassa, ja teki mieli askarrella paperinen ikosaedri, saman muotoinen kuin monen viiruksen kapsidi. Paperisia kuutioita on tullut askarreltua pitkin peruskoulua ja joskus tylsis­tyneenä työelämässä, ja kuutio on varsin helppo muoto tasaisine 90-asteisine kul­mi­neen. Rakensin kerran myös paperisen tetraedrin; se oli vähän haastavampi, sillä sen tiukat kulmat tekivät sivujen yhteen liimaamisen hankalaksi.

Ikosaedri koostuu kahdesta­kymmenestä kolmiosta. Itse aina näen ikosaedrin siten, että sen yläosa on viisi­kulmainen pyramidi, sen alaosa on toinen, ja molemmista pyra­mi­deista erittyy kolmio­maiset sormet, jotka menevät limittäin toisen puoliskon sormien kanssa.

Olen ennestään tulostanut kuusi­kulmioisen ruudukon jotakin muuta varten. Koska tarvitsen jokaisen kuusi­kulmion keski­pisteen, piirrän ruuduk­koon lisä­viivoja. Sain täten kolmio­ruudukon.

Kolmio­ruudukon avulla sain piirrettyä ikosaedrin verkon: 20 yhteen­liitettyä kolmiota. Verkkoja on monia, ja tässä on vain yksi, eikä tämä ole edes kovin mieluisa; rajoitteina oli, että kolmi­oiden piti mahtua A4-paperille, sekä välttää yhdelle reunalle ilmestynyttä tahraa, mutta leikka­aminen ja liimaa­minen hankaloitui jonkin verran. Paremmalla suun­nit­telulla olisi saatu helpompi sommitelma.

Paperiarkki, himmeällä harmaalla kuusikulmioista koostuva ruudukko, päälle piirretty tummemmalla lyijykynällä 20 ketjutettua kolmiota, ikosaedrin verkoksi aseteltuna.

Väritin sitten kolmioiden sisällä olevat heksat. Käytin yhdeksää eri puu­väri­kynää. Tietysti jotkut heksat ylettyvät kahden tai kolmen kolmion yli. Reunoille jäi puo­lik­kaita heksoja, joskus vielä pienem­piäkin heksojen osia, jotka eivät täsmänneet toisen heksan puo­lik­kaan kanssa kun ikosaedri kootaan; kolmio­ruudukko olisi ollut kaikin puolin parempi. Värittä­essäni käytin aina sitä sääntöä että väri ei saa olla itsensä vieressä, edes koottuna­kaan. Yritin käyttää sitä sääntöä, että värin olisi oltava ainakin kahden mutta enintään kolmen heksan päässä toisesta saman­värisestä heksasta, mutten pystynyt nou­dat­tamaan tätä sääntöä; minulla on mutu­tuntuma, että yhdeksällä värillä tämän säännön noudattaminen on mahdotonta, mutten ole todistanut sitä. Yritin myös värittää mahdol­lisimman pitkiä ketjuja sekä lämpimiä värejä (punai­nen, oranssi, kel­tai­nen, pinkki) että kylmiä värejä (tumman­sininen, vaalean­sininen, vio­letti, tumman­vihreä, vaalean­vihreä), mutta ketjut menivät ennemmin tai myöhemmin rikki. Uskon, että suunnittelulla kahden rikkou­tumat­toman ketjun värittäminen olisi mah­dol­lista: ne menisivät limittäin, spiraali­maisesti.

Väritetty ikosaedrin verkko.

Sitten leikkasin ylimääräisen paperin pois verkon ympäriltä, jättäen pienet läpät kasaan liimaamista varten. Tämä verkko ei ollut konveksi, joten leikkaaminen hankaloitui. Toisaalta liimattavia reunoja on vain 11, eli suunnilleen kolmasosa ikosa­edrin 30 reunasta; en tiedä, onko kaikilla verkoilla 11 liimattavaa reunaa. Uskon, että joillakin voi olla enemmän, en tiedä voiko millään olla vähemmän, mutten yllättyisi todistuksista suuntaan tai toiseen.

A4-arkista irti leikattu ikosaedrin verkko, hieman taitetuilla kolmioilla ja liimausläpillä.

Sitten liimasin sivut yhteen. Viimeiset sivut olivat kaikista hankalimpia. Leikkaus- ja liimaus­tarkkuus oli amatööri­mäistä. Mikään ei tietenkään voi olla matemaattisen tarkkaa, mutta kokemuksella ja osaamisella oltaisiin saatu siistimpi lopputulos. Milli sinne tai tänne leikkauksessa tai nuuttauksessa tarkoittaa muutaman asteen heittoa, jolloin teoreettisesti vierekkäisiksi tulevat väriheksat eivät enää ole vierekkäin, ja virheet kasvavat.

Lopputuloksesta tuli kuitenkin ihan kiva :)

Koottu ikosaedri, ruutupaperia taustalla, tietystä kulmasta kuvattuna. Keskellä on tahko 1 (numerointikuva on alempana), ja selvästi näkyvissä ovat myös tahkot 10, 2, 3, 11 ja 15; hyvin matalasta kulmasta hädin tuskin näkyvissä myös tahko 14.

Seuraavaksi se kuudesta muusta kuva­kulmasta, jotta kaikki tahkot näkyvät.

Koottu ikosaedri, jossa näkyy keskellä tahko 20 ja ympärillä tahkot 19, 16, 4, 3, 2 ja matalasta kulmasta 1. Koottu ikosaedri, jossa näkyy keskellä tahko 17 ja ympärillä tahkot 18, 6, 5, 4, 16 ja matalasta kulmasta 20. Koottu ikosaedri, jossa näkyy keskellä tahko 7 ja ympärillä tahkot 8, 13, 12, 5, 6, ja matalasta kulmasta 17 ja 18. Koottu ikosaedri, jossa näkyy keskellä tahko 14 ja ympärillä tahkot 9, 15, 11, 12, 13, ja matalasta kulmasta 7 ja 8. Koottu ikosaedri, jossa näkyy keskellä tahko 3 ja ympärillä tahkot 2, 4, 5, 12, 11 ja matalasta kulmasta 15. Koottu ikosaedri, jossa näkyy keskellä tahko 18 ja ympärillä tahkot 17, 19, 10, 9, 8 ja matalasta kulmasta 7.

Tahkojen numeroinnista

Tahkot voi numeroida mieli­valtai­sesti. 20-sivuisessa nopassa, d20:ssä, käytetään seu­raa­van­laista nume­rointia:

Ikosaedrin verkko, jonka päälle on piirretty jokaiselle tahkolle numero.

Tämän nimenomaisen ikosaedrin tahkojen nume­roin­tiin käytän tätä yksin­kertaisempaa numerointia:

Ikosaedrin verkko, jonka päälle on piirretty jokaiselle tahkolle numero, mutta jossa numerot ovat jonkinlaisessa järjestyksessä.

Tämän verkon voi tulkita binääri­puuna, jossa jokaisella sol­mulla eli tahkolla (paitsi tietysti juurella ja viimei­sillä) on yksi vanhempi sekä vasen tai oikea lapsi (tai molem­mat), jotka määri­tellään vasemman- tai oikean­puoleisen reunan perus­teella, kun kolmio kään­netään siten, että vanhempi on ylhäällä. Lisäksi jokai­selle yksi­lapsi­selle kolmiolle voidaan merkitä linkki toiseen kolmioon, joka merkitsee lii­mat­tavaa reunaa.

Tässä alla kirjoitan auki oman ikosaedri­numerointini puun puumuodossa, käyttäen [n]-merkintää tarkoittamaan liimattavaa reunaa.

                          1
                         / \
                     [10]   2
                           / \
                          3   [20]
                         / \
      /-----------------/   4
     /                     / \
    11                    5   \-------\
   /  \                  / \           \
[15]   12             [12]  6           16
      /  \                 / \        /    \
    [5]   13              7   [17]   20      17
         /  \            / \        / \    /  \
       [7]   14       [13]  8    [19] [2] [6]  18
            /  \           / \                /  \
          [9]   15        9   [18]          [8]  [19]
               /  \      / \
             [1]  [11] [14] 10
                           /  \
                         [1]   19
                              /  \
                           [20]  [18]

S-lausek­keena ilmais­tuna puu on seu­raavan­lainen: (1 ([10]) (2 (3 (11 ([15]) (12 ([5]) (13 ([7]) (14 ([9]) (15 ([1]) ([11])))))) (4 (5 ([12]) (6 (7 ([13]) (8 (9 ([14]) (10 ([1]) (19 ([20]) ([18])))) ([18]))) ([17]))) (16 (20 ([19]) ([2])) (17 ([6]) (18 ([8]) ([19])))))) ([20]))). Visualisoi esimerkiksi tällä työkalulla.

20-kertaa-20 vierusmatriisi.

Bitit vierusmatriisia varten: 01000000010000100000-10100000000000000001-01010000001000000000-00101000000000010000-00010100000100000000-00001010000000001000-00000101000010000000-00000010100000000100-00000001010001000000-10000000100000000010-00100000000100100000-00001000001010000000-00000010000101000000-00000000100010100000-10000000001001000000-00010000000000001001-00000100000000010100-00000001000000001010-00000000010000000101-01000000000000010010.

Vierusmatriisi tiilitettynä kahdeksan kertaa sekä vaaka- että pystysuuntaan. Tiiliä on siis yhteensä 64.

Tiili­tettynä vierus­matriisi näyttää minusta ruumis­arkuilta.