Päivän tylsyystaide

2021-06-04

Oli hetki tylsää, eikä datailu kiinnostanut, joten nappasin muistiinpanovihkoni ja rupesin värittämään halvoilla puuvärikynillä (niillä samoilla, joilla väritin paperisen ikosaedrin) pentominoja.

Valokuva puuvärikynäpiirroksesta ruutupaperille.

Kaikkien 12 pentominon asettaminen 10×6-ruudukkoon olisi vaatinut liikaa aivojumppaa, ja lisäksi värikyniä ei ollut jokaiselle pentominolle (tai oikeastaan oli, mutta yksi väreistä oli valkoinen, ja keltaisesta oli hajonnut kärki eikä terotinta ollut lähettyvillä), joten asettelin vain kahdeksan pentominoa, mutta silti 10×6-ruudukkoon, ja sitten kun tylsyyttä oli vielä jäljellä, toistin ruudukon kolmesti. F-, V-, P- ja U-pentominoja käytin kahdesti, L-, N-, I- ja Z-pentominoja kerran, ja Y-, X-, W- ja T-pentominoja en käyttänyt kertaakaan.

Laatoitukseni koostuu kahdesta 5×6-kokoisesta alilaatoituksesta, joilla voisi kummallakin semmoisenaan laatoittaa äärettömän ruudukon, ilman että kaksi samanväristä laattaa koskisivat toisiinsa.

Rupesin sitten miettimään pienempiä alilaatoituksia, jotka mahtuisivat suorakulmion alueelle ja siten voisivat laatoittaa koko tason.

Pienemmät alilaatoitukset

Unohdetaan, ainakin hetkeksi, rajoitus, jossa pentomino ei saa olla toisen samanlaisen vieressä. Helpoin tapahan osoittaa äärettömän laatoituksen olemassaolo on muodostaa jonkinkokoinen suorakulmio, koska suorakulmiosta saa ruudukon, ja ruudukoista saa äärettömän. Suorakulmion mahdottomuus ei kuitenkaan tarkoita, ettei pentomino voisi yksinään laatoittaa tasoa, kuten nämä V- ja X-pentominojen laatoitukset osoittavat.

V-pentominon laatoituksen toistuva yksikkö. Tason laatoitus V-pentominoista.
Tätä aluetta toistamalla saadaan V-pentominoista koostuva tason laatoitus.
X-pentominon laatoituksen malli, neljällä pentominolla. X-pentominon laatoituksen malli, monella pentominolla enemmän.
X-pentominoja saa laatoitettua asettamalla niitä tähän malliin.

Jos mietimme pentominojen geometriaa, niin useimmilla on joku ulkonema tai kolo, jonka takia ne eivät voi yksin laatoittaa tasoa, vaan väliin jää joku kolo. I-pentomino on selkeä poikkeus tähän näin, tietysti, ollen itsessään 5×1-suorakulmio.

I-pentominon laatoitus.

Koska pentominot koostuvat aina viidestä ruudusta, niin suorakulmion muotoisella alilaatoituksella on mahdollisia vain ne koot, joissa yhden suunnan pituus on 5 (tai sen monikerta), jotta pinta-ala on 5:llä jaollinen. 5×1-suorakulmioita ei saada kuin vain I-pentominolla, mutta 5×2-suorakulmion saa sekä kahdella L-pentominolla että kahdella P-pentominolla.

L-pentominoista koostuva 5×2-suorakulmio. P-pentominoista koostuva 5×2-suorakulmio.

5×3-suorakulmioita on monta. Ainoastaan W-pentomino ei mahdu 5×3-suorakulmioon, sillä se on sen muotoinen, ettei toinen pentomino mahdu sen viereen ilman, että johonkin kulmaan jää reikä. Jos tahdotaan 3 ruutua korkea suorakulmio, joka sisältää W-pentominon, täytyy käyttää 10×3-suorakulmiota. Lisäksi I-pentomino mahtuu 5×3-suorakulmioon vain "liimaamalla" se 5×2-suorakulmion sivulle. X-pentominon saa 5×3-suorakulmioon vain ympäröimällä se kahdella U-pentominolla.

W-pentominon sisältävä 10×3-suorakulmio. Kaksi W-pentominoa sisältävä 10×3-suorakulmio.

5×3-suorakulmioiden muodostuksessa P-, U- ja V-pentominot ovat osoittautuneet käteviksi, sillä niillä voi helposti täyttää toisten pentominojen jättämiä yhden ja kahden ruudun syvyisiä koloja sekä yhden ruudun ulkonemia. X-pentomino puolestaan on varsin hyödytön 5×3-suorakulmioissa.